Algunos problemas matemáticos y soluciones en aprendizaje de máquina
Francisco Gómez, Universidad Nacional Sede Bogotá

Recientemente se ha observado un incremento considerable en el uso de herramientas de aprendizaje de máquina, por ejemplo, arquitecturas basadas en aprendizaje profundo, desarrollos basados en topología algebraica y aprendizaje por refuerzo, entre otros. Sin embargo, en muchos casos las razones matemáticas por las cuales estas aproximaciones funcionan en problemas prácticos permanecen desconocidas. En este curso se abordará una introducción a los fundamentos matemáticos y prácticos del aprendizaje de máquina, ilustrados con ejemplos prácticos. Seguidamente, se revisarán algunos de los problemas matemáticos asociados al uso de técnicas de aprendizaje de máquina. Y finalmente, se revisarán algunas propuestas teóricas recientes que justifican el uso de estas aproximaciones.

Prerequisitos: Optimización, Probabilidad, Procesamiento de señales.

Horario:
– Martes 11. 8:30 – 10:00
– Miércoles 12. 7:30 – 9:00

Este documento tiene por objeto presentar una primera parte de la investigación enfocada a determinar un modelo de elasticidad de la demanda del consumo energético del sector residencial en Colombia a partir del uso de la matemática aplicada al estudio de problemáticas nacionales. A tráves del estudio del impacto del sector minero energético de Colombia, mediante el análisis de series de tiempo entre las ramas económicas; se analiza el comportamiento histórico entre 1995 y 2017 de cada una de las ramas de la economía del país a partir de análisis estadístico y fundamental. Se presenta un análisis de impacto relacionando las ramas del sector minero energético, con las actividades de la economía colombiana, concluyendo en un análisis sobre la relación sector minero energético con el crecimiento económico.

Horario:
– Martes 11. 8:30 – 10:00
– Miércoles 12. 7:30 – 9:00
– Jueves 13. 8:30 – 10:00
– Viernes 14. 8:30 – 10:00

LEl objetivo de este curso es dar una introducción, a nivel de pre-grado, a la teoría de representaciones de grupos, algunas aplicaciones y métodos para calcular usando GAP. La teoría de representaciones de grupos en un área de las matemáticas que estudia las simetrías de espacios lineales. Es un área con muchas aplicaciones entre estas están la teoría de números, la combinatoria, la geometría, teoría de probabilidad y mecánica cuántica entre otras.

Horario:
– Martes 11. 8:30 – 10:00
– Miércoles 12. 7:30 – 9:00
– Jueves 13. 8:30 – 10:00
– Viernes 14. 8:30 – 10:00

El objetivo de este cursillo es presentar las principales herramientas para la descripción y caracterización de álgebras C*, prestando principal atención a las álgebras de operadores. Durante las diferentes sesiones abordaremos temas tanto básicos como avanzados en el área de teoría de operadores y de álgebras C*. La exigencia del curso es media y solo se requiere un entendimiento formal de las definiciones de grupo, continuidad.

Horario:
– Martes 11. 8:30 – 10:00
– Miércoles 12. 7:30 – 9:00
– Jueves 13. 8:30 – 10:00
– Viernes 14. 8:30 – 10:00

Un ejemplo de un grupo aritmético es el grupo de matrices invertibles con entradas en los enteros (SL_n(Z)). El origen de estos grupos proviene de Teoría de números, pero su estudio ha sido de gran importancia en Geometría, Topologia y Sistemas dinámicos.

La mayor parte del curso se basara en el libro: Introduction of Arithmetic groups de Dave Witte Morris, que se puede encontrar en el link: https://arxiv.org/pdf/math/0106063.pdf

Horario:
– Martes 11. 8:30 – 10:00
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– Viernes 14. 8:30 – 10:00

En la educación básica matemática, la que reciben todos los estudiantes colombianos, rara vez, si alguna, se mencionan algunos de los tantos problemas abiertos con los que cuenta la matemática contemporánea, aún teniendo en cuenta que muchos de ellos son de muy fácil comprensión. Hacerlo no sólo permite a los estudiantes reconocer en las matemáticas una ciencia viva y activa, sino explorar ellos mismos esos problemas, descubriendo de paso las dificultades y éxitos que los matemáticos encuentran en sus investigaciones, los caminos y recovecos que recorren e, incluso, experimentando la alegría de un hallazgo, así sea mínimo. Mediante una rica y variada muestra de problemas abiertos provenientes de la teoría elemental de los números, la geometría, la combinatoria y otras ramas de la matemática escolar, en este curso ofrecemos a estudiantes y docentes una opción para enriquecer y alegrar su trabajo diario en el salón de clase.

Horario:
– Martes 11. 8:30 – 10:00
– Miércoles 12. 7:30 – 9:00
– Jueves 13. 8:30 – 10:00
– Viernes 14. 8:30 – 10:00

La construcción de ultraproductos es una forma de tomar un límite estructural de estructuras finitas. Comenzando con una clase C = {M_i : i ∈ N} de estructuras finitas y un ultrafiltro no-principal U sobre N, se obtiene una estructura (posiblemente infinita) M=∏_UM_i que satisface las mismas propiedades de primer orden que se cumplan asintóticamente en las estructuras M_i. Decimos entonces que una estructura M es pseudofinita si es equivalente a un ultraproducto de estructuras finitas, o equivalentemente, si toda propiedad de primer orden válida en M también es válida en alguna estructura finita.

El ejemplo prototípico es el grafo aleatorio, que aparece de forma natural en tres formas diferentes: es la versión límite del modelo probabilístico G(n, p) de Erdös en el cual se tiene un grafo con n vértices y se asignan aristas aleatoriamente con probabilidad p. También es el ultraproducto de los grafos de Payley definidos en campos finitos, y finalmente es el único grafo contable que satisface los axiomas del restaurante de Alice: para cualesquiera vértices distintos v₁, … ,v_n,w₁,… ,w_m$ existe un vértice u que está relacionado con todos los v_i‘s y con ninguno de los w_j.

En esta curso presentaré la construcción general de ultraproductos, especialmente aplicada a clases importantes de estructuras finitas (grafos, campos finitos, grupos cíclicos). También presentaré algunas pruebas de resultados en combinatoria y teoría de números aditiva (Teorema de Ramsey, Teorema de Regularidad de Szemerédi, ) que pueden lograrse usando estructuras pseudofinitas y medidas de conteo.

Horario:
– Martes 11. 8:30 – 10:00
– Miércoles 12. 7:30 – 9:00
– Jueves 13. 8:30 – 10:00
– Viernes 14. 8:30 – 10:00

En este curso se busca introducir al estudiante a la teoría algebraica de D-módulos la cual se originó a partir del estudio algebraico de las soluciones a sistemas de ecuaciones diferenciales parciales. El objetivo principal del cursillo es ofrecer a los estudiantes una introducción al cálculo diferencial sobre algebras conmutativas.

El cursillo se dividirá en dos partes, en la primera se expondrán las principales ideas desde el punto de vista local, es decir, estudiaremos anillos de operadores diferenciales para un anillo conmutativo dado. En la segunda parte del cursillo se introducirán las ideas globales utilizando el lenguaje de los haces sobre una variedad álgebraica.

Horario:
– Martes 11. 8:30 – 10:00
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– Viernes 14. 8:30 – 10:00

La enseñanza aprendizaje de la geometría del espacio aporta al desarrollo intelectual y al pensamiento geométrico espacial durante el proceso de formación del estudiante. En el curso se muestra los resultados de una investigación que favorece la construcción del contenido geométrico espacial, a través de problemas retadores, que en su proceso de resolución necesitan: geometría dinámica, materiales didácticos, del uso de la historia de la matemática como recurso didáctico, heurísticas, visualización, manipulación geométrica y pensamiento visual. La implementación de estos problemas contribuye a desarrollar el pensamiento geométrico espacial y a que el estudiante pueda hacer transferencias de una dimensión a otra.

Horario:
– Martes 11. 8:30 – 10:00
– Jueves 13. 8:30 – 10:00

Optimización dispersa
Juan Carlos de los Reyes, Escuela Politécnica Nacional

En este curso consideraremos problemas de optimización no lineal en los cuales se requiere que la solución tenga una estructura dispersa, es decir, un gran número de entradas nulas. Este tipo de problemas surgen en diferentes áreas de aplicación, tales  como restauración de imágenes, aprendizaje automático, clasificación de datos, entre otros. Normalmente, la dispersión se obtiene al regularizar la función de costo con la norma l1 del vector solución. Esto, sin embargo, da lugar a un problema de optimización no diferenciable, que se vuelve difícil de resolver. Estudiaremos las propiedades teóricas básicas de tales problemas (existencia, condiciones de optimalidad, etc.) e introduciremos los métodos numéricos más relevantes (de primer y segundo orden) para la solución de dichos problemas de optimización.

Horario:
– Jueves 13. 8:30 – 10:00
– Viernes 14. 8:30 – 10:00

Se presentan propiedades básicas de polinomios ortogonales en una y varias variables. Por otra parte se estudian ejemplos de polinomios ortogonales clásicos en la recta y polinomios ortogonales en dos variables. Finalmente, se presentan algunos problemas abiertos que pueden ser abordados en trabajos de grado de pregrado y posgrado

Horario:
– Martes 11. 8:30 – 10:00
– Miércoles 12. 7:30 – 9:00
– Jueves 13. 8:30 – 10:00
– Viernes 14. 8:30 – 10:00

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– Martes 11. 8:30 – 10:00
– Miércoles 12. 7:30 – 9:00
– Jueves 13. 8:30 – 10:00