Revista Colombiana de Matemáticas Volumen 32 (1998), páginas 101–122

Sobre una estructura diferencial cuántica

Berenice Guerrero

Universidad Nacional de Colombia, Bogotá

Abstract. We obtain a non-conmutative differential structure associated with the Lie bialgebra of the Lie group G = ST (2). We construct this structure by means a quantum matrix generated by a classic r-matrix on G ⊗ G. We prove that this space is generated by the differential form of the Lie group G and we also prove that this space is a graded Hopf –Poisson algebra with a suitable bracket. Key words and phrases. Lie-Poisson groups, Hopf-Poisson algebra, r-matrix, Yang-Baxter equation, Poisson braket, quantum group, non-commutative calculus. 1991 Mathematics Subject Classification (1994 Revision). Primary 17 B 37. Secondary 16 W 30, 17 B 66. Resumen. Se construye una estructura diferencial no conmutativa, asociada a la bialgebra de Lie del grupo triangular G = ST (2), a partir de una R-matriz cuántica inducida por una r-matriz clásica del espacio G ⊗ G. Se prueba que este espacio puede definirse en términos de las formas diferenciales del grupo de Lie G y es un álgebra de Hopf-Poisson graduada con un corchete apropiado.

0. Introducción

De la misma forma como se acostumbra a definir la estructura diferencial de un grupo de Lie en términos de las funciones coordenadas del grupo, (ver [11]), construimos aquí una estructura diferencial no conmutativa sobre el grupo

Trabajo parcialmente financiado por el CINDEC y COLCIENCIAS .

cuántico ST_{q}(2) en términos de las funciones coordenas del grupo de Lie ST (2) y de sus diferenciales.

A partir de un r–tensor antisimétrico del espacio G ⊗ G (G es el álgebra de Lie de ST (2)), que satisface la ecuación de Yang–Baxter clásica (ver [23]),

[r_{12}, r_{23}] + [r_{12}, r_{13}] + [r_{13}, r_{23}] = 0  (0.1)

encontramos una solución R , (R-matriz cuántica), de la ecuación de Yang-Baxter cuántica QYBE, (ver [20]),

R_{12}R_{13}R_{23} = R_{23}R_{13}R_{12}.  (0.2)

La matriz cuántica R induce una estructura de biálgebra no conmutativa A_{R} sobre el espacio de las funciones coordenadas del grupo ST (2), (ver [19]), y nos permite definir el grupo cuántico ST_{q}(2) del grupo de Lie ST (2) como el álgebra cociente de A_{R} sobre un cierto ideal bilátero con estructura de Algebra de Hopf no conmutativa, (ver [6]).

Con el propósito de determinar una estructura diferencial sobre el grupo cuántico ST_{q}(2), (ver [1], [2], [27] y [29]), construimos el espacio M_{h} generado por las funciones coordenadas del grupo ST (2) y sus diferenciales, con ciertas relaciones entre sus elementos determinadas por la matriz cuántica R, y probamos que ese espacio tiene estructura de álgebra de Hopf graduada no conmutativa, y que la aplicación diferencial d definida sobre él satisface la regla de Leibniz y la relación de nilpotencia. El espacio (M_{h}, d) con esas propiedades determina un cálculo diferencial no conmutativo sobre el grupo cuántico ST_{q}(2) (ver [4] y [27]).

Asi como la generalización de la geometría diferencial clásica, (ver [9] y [26]), se define en términos de las formas diferenciales sobre el grupo de Lie expresamos, en este caso también, el cálculo diferencial sobre el grupo cuántico ST_{q}(2) en términos de las formas diferenciales sobre el grupo ST (2), con ciertas relaciones determinadas por la R-matriz cuántica, y determinamos la estructura del espacio de formas. Probamos que el espacio de formas diferenciales sobre el grupo cuántico ST_{q}(2) tiene estructura de álgebra de Hopf-Poisson.

1. El grupo cuántico ST_{q}(2)

Definición 1.1. ST (2) es el grupo de matrices g de orden 2 con determinante uno y entradas g_{j}^{i} tales que g_{j}^{i} = 0 (1 ≤ j < i ≤ 2), g_{i}^{i} > 0 (1 ≤ i ≤ 2) llamado el grupo triangular especial de orden dos.

Definición 1.2. El álgebra de Lie ST (2) del grupo ST (2) es el álgebra de matrices triangulares de orden dos con traza nula generada por

X_{1} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) , X_{2} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} )

con estructura dada por el conmutador de matrices,

[X_{1}, X_{2}] = 2X_{2},  [X_{i}, X_{i}] = 0,  i = 1, 2.  (1.1)

Definición 1.3. El álgebra de funciones diferenciables C^{∞}(ST (2)) sobre el grupo ST (2) con valores en un campo de característica cero, (ℝ o ℂ ), es el álgebra asociativa, conmutativa, con unidad, definida por el producto común entre funciones.

Definición 1.4. Las funciones coordenadas del grupo ST (2) son las funciones t_{j}^{i} definidas por t_{j}^{i}(g) = g_{j}^{i} para toda matriz g ∈ ST (2).

Llamamos A el álgebra conmutativa con unidad de las funciones coordenas del grupo ST (2), es decir, A es el álgebra generada por las entradas de la matriz T

T = (t_{j}^{i}) = ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & c \end{matrix} )  (1.2)

módulo la relación t_{1}^{1}(g)t_{2}^{2}(g) = g_{1}^{1}g_{2}^{2} = ac = det T = 1, t_{2}^{1} = b. A tiene estructura de álgebra de Hopf conmutativa, (ver [16]) con las operaciones, producto m, coproducto Δ, counidad ε y antípoda S, definidas como sigue,

m : A ⊗ A → A,  m(t_{j}^{i} ⊗ t_{l}^{k}) = t_{j}^{i}t_{l}^{k},  m(t_{1}^{1} ⊗ t_{2}^{2}) = 1,
Δ : A → A ⊗ A, Δ(t_{j}^{i})(g_{1}, g_{2}) = t_{j}^{i}(μ(g_{1}, g_{2})) = t_{j}^{i}(g_{1}g_{2}) = (g_{1}g_{2})_{j}^{i}, (1.3)

donde μ es el producto del grupo de Lie,

ε : A → ℝ,  ε(t_{j}^{i}) = t_{j}^{i}(e) = (e)_{j}^{i},  (1.4)
S : A → A, S(t_{j}^{i})(g) = t_{j}^{i}(g^{−1}) = (g^{−1})_{j}^{i}

para todo g ∈ ST (2) y g^{−1} el inverso de g.

Un grupo cuántico del grupo de Lie ST (2) es un álgebra de Hopf no conmutativa obtenida por deformación del álgebra A, (ver [3] y [19]). Una cuantización de A puede definirse a partir de una matriz R que sea solución de la ecuación de Yang Baxter cuántica (0.2), (también puede obtenerse por deformación directa del producto entre las funciones (ver [6]), [8] o [19]). La R - matriz cuántica induce la biálgebra A_{R} asociada a R, la cual determina a su vez, por paso al cociente, el grupo cuántico ST_{R}(2). Por otra parte, la R-matriz cuántica es definida por un r-tensor del espacio ST (2).

Dada la base {X_{1}, X_{2}} del espacio ST (2) tomamos el r-tensor

r = X_{1} ⊗ X_{2} − X_{2} ⊗ X_{1}  (1.5)

antisimétrico, el cual es solución de la ecuación de Yang-Baxter clásica (ver [10]). Entonces r (r-matriz clásica) determina una solución R de la ecuación de Yang Baxter cuántica, como veremos en la proposición (1.2).

Proposición 1.1. El tensor r = X_{1} ⊗ X_{2} − X_{2} ⊗ X_{1} satisface la ecuación r^{3} = 0.

Prueba. La proposición se obtiene de las siguientes igualdades que satisfacen los elementos X_{1}, X_{2} con estructura (1.1) del álgebra de Lie ST (2).

X_{1}X_{2} = X_{2},  X_{2}X_{1} = −X_{2},  X_{2}^{2} = 0

En efecto, r^{3} es igual a

(X_{1} ⊗ X_{2} − X_{2} ⊗ X_{1})^{3} =(−X_{1}X_{2} ⊗ X_{2}X_{1} − X_{2}X_{1} ⊗ X_{1}X_{2})
· (X_{1} ⊗ X_{2} − X_{2} ⊗ X_{1})
= − X_{1}X_{2}X_{1} ⊗ X_{2}X_{1}X_{2} + X_{2}X_{1}X_{2} ⊗ X_{1}X_{2}X_{1}
=X_{2}X_{1} ⊗ X_{2}^{2} − X_{2}^{2} ⊗ X_{2}X_{1} = 0.

Proposición 1.2. La matriz R definida por R = Exp(hr) donde r es el r-tensor (1.5) y h es un parámetro real, es una solución de la ecuación de Yang Baxter cuántica

R_{12}R_{13}R_{23} = R_{23}R_{13}R_{12}

con R_{12} = R ⊗ I, R_{23} = I ⊗ R (R_{13} es análogo, como se verá mas adelante).

Prueba. Sabemos que r satisface las siguientes igualdades:

r = X_{1} ⊗ X_{2} − X_{2} ⊗ X_{1},  r^{2} = 2(X_{2} ⊗ X_{2}),  r^{3} = 0

entonces la matriz R la podemos expresar como

R = Exp(hr) = I ⊗ I + hr + h^{2}(X_{2} ⊗ X_{2})  (1.6)

donde I es la matriz idéntica, y las matrices R_{ij} están definidas por:

R_{12} = I^{⊗^{3}} + hr_{12} + h^{2}(X_{2} ⊗ X_{2} ⊗ I),
R_{23} = I^{⊗^{3}} + hr_{23} + h^{2}(I ⊗ X_{2} ⊗ X_{2}),
R_{13} = I^{⊗^{3}} + hr_{13} + h^{2}(X_{2} ⊗ I ⊗ X_{2}),

con r_{ij} los tensores (ver [10]):

r_{12} = r ⊗ I = X_{1} ⊗ X_{2} ⊗ I − X_{2} ⊗ X_{1} ⊗ I,
r_{23} = I ⊗ r = I ⊗ X_{1} ⊗ X_{2} − I ⊗ X_{2} ⊗ X_{1},  (1.7)
r_{13} = X_{1} ⊗ I ⊗ X_{2} − X_{2} ⊗ I ⊗ X_{1}.

Desarrollando los productos (i) R_{12}R_{13}R_{23} y (ii) R_{23}R_{13}R_{12} obtenemos

R_{12}R_{13}R_{23} = I^{⊗^{3}} + h(r_{12} + r_{13} + r_{23})
+ h^{2}(r_{12}r_{13} + r_{12}r_{23} + r_{13}r_{23} + B + C + D)  (1.8)
+ h^{3}((r_{13} + r_{12})D + Cr_{23} + r_{12}C + B(r_{23} + r_{13}) + r_{12}r_{13}r_{23}), (1.9)

R_{23}R_{13}R_{12} = I^{⊗^{3}} + h(r_{12} + r_{13} + r_{23})
+ h^{2}(r_{13}r_{12} + r_{23}r_{12} + r_{23}r_{13} + B + C + D)  (1.10)
+ h^{3}((r_{13} + r_{23})B + Cr_{12} + r_{23}C + D(r_{12} + r_{13}) + r_{23}r_{13}r_{12}) (1.11)

para B, C y D definidos por los productos tensoriales,

B = X_{2} ⊗ X_{2} ⊗ I,  C = X_{2} ⊗ I ⊗ X_{2},  D = I ⊗ X_{2} ⊗ X_{2}. (1.12)

Por ser r solución de la ecuación de Yang-Baxter clásica se tiene que (1.8) es igual a (1.10). Para probar que (1.9) es igual a (1.11) operamos por separado las expresiones siguientes,

\begin{aligned}M & = (r_{13} + r_{12})D + Cr_{23} + r_{12}C + B(r_{23} + r_{13}) \\ O & = r_{12}r_{13}r_{23} \\ L & = (r_{13} + r_{23})B + Cr_{12} + r_{23}C + D(r_{12} + r_{13}) \\ P & = r_{23}r_{13}r_{12} \end{aligned}  (1.13)

y los productos tensoriales (1.7) y (1.12) en forma matricial,

r_{12} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) r_{13} = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

r_{23} = ( \begin{matrix}0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) B = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

C = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) D = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Con esas matrices las expresiones M y L en (1.13) son iguales a la matriz 8×8,

M = L = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

y los productos O y P de (1.13) son iguales a la matriz,

O = P = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

De donde M + O = L + P = 0 y con esto (1.9) es igual a (1.11), luego los productos (i) y (ii) son iguales y con ello completamos la demostración de que la matriz R en (1.6) es una solución de la QYBE (0.2).

Definición 1.5. Se denomina álgebra de matrices cuántica A_{R} del grupo ST (2), asociada a la matriz cuántica R, el álgebra no conmutativa generada por las entradas t_{j}^{i} de la matriz T (1.2) módulo la relación

RT_{1}T_{2} = T_{2}T_{1}R

donde T_{1} = T ⊗ I, T_{2} = I ⊗ R con I la matriz idéntica de orden dos y R la matriz R = Exp(hr) cuyas entradas son los elementos

R = ( \begin{matrix}1 & h & −h & h^{2} \\ 0 & 1 & 0 & h \\ 0 & 0 & 1 & −h \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  (1.14)

Proposición 1.3. El álgebra A_{R} determinada por la R-matriz cuántica (1.14) es una biálgebra con el co-producto Δ y la co-unidad ε definidos sobre las funciones coordenadas por

Δ(a) = a ⊗ a,  Δ(b) = a ⊗ b + b ⊗ c,  Δ(c) = c ⊗ c,
ε(1) = ε(a) = ε(c) = 1, ε(b) = 0.

Prueba. Sea A_{R} el álgebra generada por las funciones coordenadas t_{j}^{i} del grupo ST (2) módulo la relación R(T_{1} ∗ T_{2}) = (T_{2} ∗ T_{1})R. Entonces, en términos de R, de las matrices T, T_{1} = T ⊗ I, T_{2} = I ⊗ T y de los productos:

T_{1} ∗ T_{2} = ( \begin{matrix}a ∗ a & a ∗ b & b ∗ a & b ∗ b \\ 0 & a ∗ c & 0 & b ∗ c \\ 0 & 0 & c ∗ a & c ∗ b \\ 0 & 0 & 0 & c ∗ c \end{matrix} )

T_{2} ∗ T_{1} = ( \begin{matrix}a ∗ a & b ∗ a & a ∗ b & b ∗ b \\ 0 & c ∗ a & 0 & c ∗ b \\ 0 & 0 & a ∗ c & b ∗ c \\ 0 & 0 & 0 & c ∗ c \end{matrix} )

los generadores del álgebra A_{R} satisfacen las relaciones

a ∗ b − b ∗ a = h(a ∗ a − a ∗ c)
a ∗ c = c ∗ a  (1.15)
b ∗ c − c ∗ b = h(c ∗ a − c ∗ c).

Esas relaciones muestran la no conmutatividad entre los elementos de A_{R} respecto del producto ∗. Observamos además que en el límite clásico, cuando h → 0, el producto ∗ coincide con m, por lo tanto, también coinciden las estructuras de A y A_{R}.

Los morfismos Δ y ε definidos sobre A inducen una estructura de co-álgebra sobre A_{R} . En efecto,

Δ : A_{R} → A_{R} ⊗ A_{R}, Δ(T) = T ⊗ T

definido por

Δ(T) = ( \begin{matrix}Δ(a) & Δ(b) \\ 0 & Δ(c) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a ⊗ a & a ⊗ b + b ⊗ c \\ 0 & c ⊗ c \end{matrix} )

satisface las tres igualdades siguientes:

Δ(a) ∗ Δ(b) − Δ(b) ∗ Δ(a) = h(Δ(a) ∗ Δ(a) − Δ(a) ∗ Δ(b))
Δ(b) ∗ Δ(c) − Δ(c) ∗ Δ(b) = h(Δ(c) ∗ Δ(a) − Δ(c) ∗ Δ(c))
Δ(a) ∗ Δ(c) = Δ(c) ∗ Δ(a)

(1.16)

En efecto,

Δ(a) ∗ Δ(b) − Δ(b) ∗ Δ(a) =
= (a ⊗ a) ∗ (a ⊗ b + b ⊗ c) − (a ⊗ b + b ⊗ c) ∗ (a ⊗ a)
= (a ∗ a) ⊗ (a ∗ b − b ∗ a) + (a ∗ b − b ∗ a) ⊗ (c ∗ a)
= (a ∗ a) ⊗ (h(a ∗ a − a ∗ c)) + h(a ∗ a − a ∗ c) ⊗ (c ∗ a)
= h((a ∗ a) ⊗ (a ∗ a) − (a ∗ c) ⊗ (a ∗ c))
= h(Δ(a) ∗ Δ(a) − Δ(a) ∗ Δ(c)).

De la misma forma se verifican fácilmente las otras igualdades en (1.16). Esas propiedades nos afirman que Δ(a), Δ(b), Δ(c) son elementos de A_{R} y por lo tanto Δ es un morfismo de álgebras. También ε definido por ε : A_{R} → k con ε(a) = ε(c) = 1, ε(b) = 0 es un morfismo de álgebras. Por ser el co-producto Δ no co-conmutativo se tiene que el espacio A_{R} es una biálgebra no conmutativa y no co-conmutativa.

Puesto que a ∗ c es un elemento como grupo (ver [5]) de A_{R}, es decir, a ∗ c satisface la igualdad

Δ(a ∗ c) = (a ∗ c) ⊗ (a ∗ c)

podemos definir el determinante cuántico asociado a la matriz R como, (ver [13]) det_{R} T = a ∗ c.

Proposición 1.4. El det_{R} T = a ∗ c está en el centro del álgebra A_{R}.

Prueba. En efecto, det_{R} T conmuta con todos los elementos del álgebra A_{R}. Basta probar esta propiedad sobre los generadores ası´:

(det_{R} T) ∗ a = (a ∗ c) ∗ a = a ∗ (c ∗ a) = a ∗ (a ∗ c) = a ∗ (det_{R} T)
(det_{R} T) ∗ b = (a ∗ c) ∗ b = (c ∗ a) ∗ b = c ∗ (a ∗ b) = c ∗ (b ∗ a + h(a ∗ a − a ∗ c))
= (c ∗ b + h(c ∗ a − c ∗ c)) ∗ a = (b ∗ c) ∗ a = b ∗ (c ∗ a)
= b ∗ (det_{R} T)
(det_{R} T) ∗ c = (a ∗ c) ∗ c = a ∗ (c ∗ c) = (a ∗ c) ∗ c = (c ∗ a) ∗ c = c ∗ (det_{R} T).

Proposición 1.5. El álgebra cociente

ST_{R}(2) = A_{R}/ det_{R} T − 1

es un álgebra de Hopf, (ver [16] o [17]), con el co-producto Δ, la co-unidad ε y la aplicación antípoda S definidas sobre los generadores por

Δ(a) = a ⊗ a,  Δ(b) = a ⊗ b + b ⊗ c,  Δ(c) = c ⊗ c
ε(a) = ε(c) = 1, ε(b) = 0,
S(a) = c,  S(b) = −b − h(a − c),  S(c) = a.

Prueba. Por la proposición (1.3) sabemos que A_{R} es una biálgebra con el co-producto Δ y la co-unidad ε, luego el álgebra cociente ST_{R}(2) es una biálgebra si se satisface que Δ y ε están bien definidas sobre el cociente. Pero esta propiedad se tiene por la definición del determinante cuántico y por la linealidad de las operaciones. En efecto,

Δ(det_{R} T − 1) = (det_{R} T) ⊗ (det_{R} T) − 1 ⊗ 1 = 0,
ε(det_{R} T − 1) = ε(det_{R} T) − ε(1) = 0.

Para completar la demostración de la proposición basta ver que S es la aplicación antípoda, es decir, probar que S satisface las siguientes propiedades:

(1) T ∗ S(T) = S(T) ∗ T = I,
(2) S(t_{j}^{i} ∗ t_{l}^{k}) = S(t_{l}^{k}) ∗ S(t_{j}^{i}),
(3) ∗(ΔS) = ∗(σ(S ⊗ S)Δ)
(4) S(det_{R} T − 1) = 0,

con ∗ el producto no conmutativo definido sobre ST_{R}(2).

Puesto que podemos expresar a S como la matriz,

S(T) = ( \begin{matrix}c & −b − h(a − c) \\ 0 & a \end{matrix} )

(1) se obtiene directamente de (1.15). Para ver (2) primero probamos que los elementos S(a), S(b), S(c) pertenecen al álgebra ST_{R}(2), es decir debemos probar que esos elementos satisfacen las siguientes igualdades:

S(a) ∗ S(b) − S(b) ∗ S(a) = h(S(a) ∗ S(a) − S(a) ∗ S(c)),
S(a) ∗ S(c) = S(c) ∗ S(a),  (1.17)
S(b) ∗ S(c) − S(c) ∗ S(b) = h(S(c) ∗ S(a) − S(c) ∗ S(c)).

En efecto, desarrollando los dos términos de la primera igualdad en (1.17) resulta:

S(a) ∗ S(b) − S(b) ∗ S(a) = c ∗ (−b − h(a − c)) − (−b − h(a − c)) ∗ c
= b ∗ c − c ∗ b,
h(S(a) ∗ S(a) − S(a) ∗ S(c)) = h(c ∗ c − c ∗ a) = b ∗ c − c ∗ b

y la igualdad se satisface. Las otras relaciones en (1.17) para S(a), S(b), S(c) se verifican de la misma forma. Por ser S un antimorfismo sobre A y por las igualdades (1.17) resulta fácil probar que S es un anti-morfismo sobre ST_{R}(2). En efecto, S satisface las siguientes igualdades:

S(a ∗ c) = 1 = S(c) ∗ S(a) = a ∗ c = 1,
S(a ∗ b) = S(b ∗ a + h(a ∗ a − a ∗ c)) = S(b ∗ a) + h(S(a ∗ a) − S(a ∗ c))
= S(a) ∗ S(b) + h(S(a) ∗ S(a) − S(c) ∗ S(a)),
S(b) ∗ S(a) = S(a) ∗ S(b) + h(S(a) ∗ S(a) − S(c) ∗ S(a)),
S(b ∗ c) = S(c ∗ b + h(c ∗ a − c ∗ c)) = S(c ∗ b) + hS(c ∗ a − c ∗ c)
= S(b) ∗ S(c) + h(S(a) ∗ S(c) − S(c) ∗ S(c)),
S(c) ∗ S(b) = S(b) ∗ S(c) + h(S(a) ∗ S(c) − S(c) ∗ S(c).

La propiedad (3) se satisface directamente sobre a y c por la definición de S. Para b la igualdad (3) se obtiene de las expresiones siguientes:

Δ(S(b)) = Δ(−b − h(a − c)) = −[Δ(b) + h(Δ(a) − Δ(c)]
= −(a ⊗ b + b ⊗ c + h(a ⊗ a − c ⊗ c),
σ(S ⊗ S)Δ(b) = σ(S ⊗ S)(a ⊗ b + b ⊗ c)
= σ(S(a) ⊗ S(b) + S(b) ⊗ S(c))
= σ(c ⊗ (−b − h(a − c)) + (−b − h(a − c)) ⊗ a)
= −(b ⊗ c + a ⊗ b + h(a ⊗ a − c ⊗ c).

y por último (4) se obtiene directamente. Luego S es la aplicación antípoda sobre ST_{R}(2) y S, Δ y ε determinan la estructura de álgebra de Hopf sobre la biálgebra ST_{R}(2).

Definición 1.6. El álgebra de Hopf ST_{R}(2) se llama el grupo cuántico del grupo triangular ST (2)

Puesto que la matriz R depende del parámetro h (constante de Plank en física) con q = e^{h}, las condiciones y propiedades sobre ST_{R}(2) las podemos expresar en términos del parámetro q y en ese caso el grupo cuántico ST_{R}(2) lo notamos ST_{q}(2).

2. Estructura diferencial sobre el grupo ST_{q}(2)

Sobre el grupo cuántico ST_{R}(2) definido en (1.6) construimos un cálculo diferencial no conmutativo, (ver [12] y [18]). Es decir, construimos un álgebra de Hopf graduada no conmutativa (M_{h}, d) con d una aplicación diferencial que satisface la regla de Leibniz y la relación de nilpotencia.

En primera instancia consideramos el álgebra graduada (M_{h}, d) generada por las funciones coordenadas del grupo ST (2) y sus diferenciales. En seguida determinamos un cálculo diferencial no conmutativo de primer orden (M_{h}, d) en términos de las 1-formas invariantes a izquierda del grupo ST (2). En ambos casos definimos la estructura de Lie-Poisson, (ver [6], [14] o [15]) sobre el álgebra graduada (M_{h}, d).

Definición 2.1. Sea A_{q} el álgebra de funciones sobre un grupo cuántico G_{q}. Un cálculo diferencial de primer orden sobre G_{q} es un álgebra de Hopf graduada (M, d) con d una transformación diferencial que satisface:

d^{2} = 0,  d(ab) = da · b + (−1)^{|a|}a · db,  M^{0} = A_{q},  |a| = grad(a)

En (1.6) definimos el grupo cuántico ST_{R}(2) como el álgebra de Hopf no conmutativa generada por las funciones coordenadas (t_{j}^{i}) del grupo ST (2) sujetas a la condición

RT_{1}T_{2} = T_{2}T_{1}R

donde R es la matriz (1.14), T es la matriz de las funciones coordenadas, T_{1} = T ⊗I y T_{2} = I ⊗T. Entonces para definir un cálculo diferencial de primer orden sobre ST_{R}(2) construimos el espacio M_{h} generado por las funciones coordenadas t_{j}^{i} y sus diferenciales d(t_{j}^{i}), y encontramos lo siguiente.

Proposición 2.1. El espacio M_{h} generado por las entradas de las matrices T y dT módulo las relaciones:

RT_{1}T_{2} = T_{2}T_{1}R  (2.1)
RT_{2}(dT)_{1} = ±(dT)_{1}T_{2}R  (2.2)
RT_{1}(dT)_{2} = ±(dT)_{2}T_{1}R^{−1}  (2.3)
R(dT)_{1}(dT)_{2} = ∓(dT)_{2}(dT)_{1}R^{−1}  (2.4)

es un álgebra de Hopf graduada, (ver [21] y [22]).

Prueba. Los elementos de la matriz T = ((t_{j}^{i})) módulo la relación (2.1) generan el álgebra de Hopf ST_{R}(2). Las diferenciales de (2.1) satisfacen las siguientes igualdades:

a · da = da · a  c · da = da · c
a · dc = dc · a  c · dc = dc · c
b · da − da · b = ±h(da · a − c · da)
a · db − db · a = ±h(a.dc − da · a)  (2.5)
c · db − db · c = ±h(da · c − c · dc)
b · dc − dc · b = ±h(c · dc − dc · a)

En términos de las matrices:

T_{1} = T ⊗ I,  T_{2} = I ⊗ T,  (dT)_{1} = dT ⊗ I,  (dT)_{2} = I ⊗ dT,

las igualdades (2.5) se pueden expresar en forma matricial por (2.2) y (2.3), y viceversa, al desarrollar las matrices (2.2) a (2.3) encontramos las expresiones (2.5). Además, las diferenciales de (2.2) y de (2.3) se pueden escribir en forma matricial por (2.4).

Entonces definimos el álgebra M_{h} como el espacio generado por las entradas de las matrices T y dT módulo las relaciones (2.1) a (2.4). El álgebra M_{h} así construida tiene una graduación natural definida por

grad(t_{j}^{i}) = |t_{j}^{i}| = 0,  grad(dt_{j}^{i}) = |dt_{j}^{i}| = 1  (2.6)

e induce la estructura de álgebra graduada sobre el espacio M_{h} ⊗ M_{h} con el producto tensorial

(a_{1} ⊗ b_{1})(a_{2} ⊗ b_{2}) = (−1)^{|a_{2}||b_{1}|}a_{1}a_{2} ⊗ b_{1}b_{2}

y la diferencial

d(a ⊗ b) = da ⊗ b + (−1)^{|a|}a ⊗ db.  (2.7)

El álgebra graduada M_{h} ⊗ M_{h} nos permite construir la estructura de álgebra de Hopf sobre el espacio M_{h}. Para ello definimos las aplicaciones Δ, ε y S sobre los generadores

a = t_{11}, b = t_{12}, c = t_{22}, da = dt_{11}, db = dt_{12}, dc = dt_{22}

del álgebra M_{h}, por las expresiones siguientes:

Δ(a) = a ⊗ a
Δ(b) = a ⊗ b + b ⊗ c
Δ(c) = c ⊗ c  (2.8)
Δ(da) = da ⊗ a + a ⊗ da
Δ(db) = da ⊗ b + db ⊗ c + a ⊗ db + b ⊗ dc
Δ(dc) = dc ⊗ c + c ⊗ dc

\begin{aligned}ε(a) & = 1, & ε(b) & = 0, & ε(c) & = 1, \\ ε(da) & = 0, & ε(db) & = 0, & ε(dc) & = 0, \end{aligned}  (2.9)

\begin{aligned}S(a) & = c & S(da) & = d(S(a)) = dc \\ S(b) & = −b − h(a − c) & S(db) & = d(S(b)) = −db − h(da − dc) \\ S(c) & = a & S(dc) & = d(S(c)) = da \end{aligned}  (2.10)

que en forma matricial podemos expresar por las igualdades:

Δ(T) = T ⊗ T  Δ(dT) = dT ⊗ T + T ⊗ dT
ε(T) = I  ε(dT) = 0
S(T) = T^{−1}  S(dT) = d(S(T))

Δ, ε y S definen respectivamente el co-producto, la co-unidad y la antípoda sobre M_{h} y determinan la estructura de álgebra de Hopf graduada sobre este espacio, (ver [24] y [25]). Para probar esta afirmación basta ver que Δ y ε son morfismos de álgebras graduadas y que S es un anti-morfismo y satisface las propiedades de antípoda.

Sea Δ el co-producto del álgebra de Hopf ST_{R}(2) (proposición 1.4). Veamos que la aplicación Δ definida en (2.8) es una extensión del co-producto (1.3) sobre el espacio M_{h}

Δ : M_{h} → M_{h} ⊗ M_{h}.

En efecto, dadas las aplicaciones lineales

Δ_{L} : M_{h} → M_{h} ⊗ M_{h}
Δ_{R} : M_{h} → M_{h} ⊗ M_{h}

(co-producto a izquierda y co-producto a derecha respectivamente), definidas por las igualdades

Δ_{L}(T dT) = Δ(T)(id ⊗ d)(Δ(T)),
Δ_{R}(T dT) = Δ(T)(d ⊗ id)(Δ(T)),

definimos

Δ(T dT) = Δ_{L}(T dT) + Δ_{R}(T dT)

y obtenemos

Δ(T dT) = Δ_{L}(T dT) + Δ_{R}(T dT)
= (T ⊗ T)(id ⊗ d)(T ⊗ T) + (T ⊗ T)(d ⊗ id)(T ⊗ T)
= (T ⊗ T)(dT ⊗ T + T ⊗ dT)
= Δ(T)Δ(dT),

y

d(Δ(T)) = d(T ⊗ T) = dT ⊗ T + T ⊗ dT = Δ(dT).

Luego Δ es un morfismo de álgebras graduadas. Por la definición (2.9) y por ser ε una extensión de la co-unidad (1.4) es inmediato que ε es la co-unidad sobre el álgebra graduada (M_{h}, d).

Queda por demostrar que la aplicación S definida en (2.10) es la antípoda del álgebra graduada (M_{h}, d). Por la proposición (1.4) sabemos que los elementos S(a), S(b), S(c) satisfacen (2.1), luego sus diferenciales

d(S(a)) = dc,  d(S(b)) = −db − h(da − dc),  d(S(c)) = da

satisfacen las relaciones (2.2) y (2.3), es decir, los elementos

S(a),  S(b),  S(c),  d(S(a)),  d(S(b)),  d(S(c))

son elementos del álgebra graduada M_{h} y por lo tanto S es un antimorfismo sobre el álgebra graduada M_{h}. Además, S satisface las siguientes identidades:

(i) μ(S ⊗ id)Δ = μ(id ⊗ S)Δ = ηε.

(ii) ΔS = σ(S ⊗ S)Δ.

(iii) εS = ε.

En efecto, (i) se deduce de los siguientes resultados:

μ(S ⊗ id)Δ(T) = μ(S ⊗ id)(T ⊗ T) = μ(T^{−1} ⊗ T) = I.

μ(id ⊗ S)Δ(T) = μ(id ⊗ S)(T ⊗ T) = μ(T ⊗ T^{−1}) = I.

μ(S ⊗ id)Δ(dT) = μ(S ⊗ id)(dT ⊗ T + T ⊗ dT)
= μ(dT^{−1} ⊗ T + T^{−1} ⊗ dT)
= μ(−T^{−1}dT T^{−1} ⊗ T + T^{−1} ⊗ dT)
= −T^{−1}dT + T^{−1}dT = 0.

μ(id ⊗ S)Δ(dT) = μ(id ⊗ S)(dT ⊗ T + T ⊗ dT)
= μ(dT ⊗ T^{−1} + T ⊗ dT^{−1})
= μ(dT ⊗ T^{−1} − T ⊗ T^{−1}dT T^{−1})
= −dT T^{−1} + dT T^{−1} = 0.

Por la proposición (1.4), la propiedad (ii) se satisface sobre T. Para los elementos de dT, (ii) se obtiene de las dos expresiones siguientes:

ΔS(dT) = Δ(dT^{−1}) = Δ(−T^{−1}dT T^{−1})
= −Δ(T^{−1})Δ(dT)Δ(T^{−1})
= −(T^{−1} ⊗ T^{−1})(dT ⊗ T + T ⊗ dT)(T^{−1} ⊗ T^{−1})
= −T^{−1}dT T^{−1} ⊗ T^{−1}T T^{−1} − T^{−1}T T^{−1} ⊗ T^{−1}dT T^{−1}
= −dT^{−1} ⊗ T^{−1} − T^{−1} ⊗ dT^{−1}

y

σ(S ⊗ S)Δ(dT) = σ(S ⊗ S)(dT ⊗ T + T ⊗ dT)
= σ(dT^{−1} ⊗ T^{−1} + T^{−1} ⊗ dT^{−1})
= T^{−1} ⊗ dT^{−1} + dT^{−1} ⊗ T^{−1}
= −T^{−1} ⊗ T^{−1}dT T^{−1} − T^{−1}dT T^{−1} ⊗ T^{−1}
= −T^{−1} ⊗ dT^{−1} − dT^{−1} ⊗ T^{−1}.

Por último, la propiedad (iii) se satisface directamente de las definiciones (2.9) y (2.10). Además, las propiedades (i) a (iii) se satisfacen para el co-producto a izquierda Δ_{L} y el co-producto a derecha Δ_{R}, luego se satisfacen también para elementos de la forma T dT.

Con estas propiedades S es una aplicación antípoda sobre M_{h} y así completamos la prueba de la proposición (2.1).

Definición 2.2. El álgebra de Hopf graduada (M_{h}, d, Δ, ε, S) de la proposición anterior es el cálculo diferencial bicovariante sobre el grupo cuántico ST_{R}(2).

La bicovariancia del cálculo está dada por los signos (±) de las relaciones (2.2) a (2.4) que satisfacen los generadores del álgebra graduada M_{h}.

El cáculo diferencial de primer orden sobre el grupo cuántico ST_{R}(2) también lo podemos definir como el álgebra generada por las uno formas diferenciales sobre el grupo.

Dado el grupo de Lie ST (2) generado por las entradas t_{j}^{i} de la matriz T las 1-formas de Maurer Cartan (ver [30]), invariantes a izquierda están definidas por, (ver [30]),

ω_{j}^{i} = (T^{−1})_{k}^{i}(dT)_{k}^{j}.

Los elementos de la matriz de traza nula Ω = (ω_{j}^{i}) generan el espacio Ω de las 1-formas invariantes a izquierda y son una base del espacio de formas diferenciales de primer orden sobre el grupo ST (2). Entonces Ω es un bimódulo de formas diferenciales de primer orden sobre A.

Si Ω es una representación del espacio de 1-formas diferenciales sobre el grupo ST (2) que satisfacen

dT = T Ω, dΩ = Ω ∧ Ω

por ser Ω un bimódulo bicovariante sobre el espacio de funciones C^{∞}(ST (2)), podemos definir el álgebra graduada diferencial M_{h} como el álgebra generada por los elementos t_{j}^{i} de T y por las 1-formas invariantes a izquierda w_{j}^{i} de Ω, con ciertas relaciones entre ellos, con las cuales M_{h} tiene estructura de álgebra de Hopf graduada.

Proposición 2.2. En términos de las 1-formas invariantes a izquierda Ω = (ω_{j}^{i}) las relaciones (2.2), (2.3) y (2.4) de la proposición (2.1) toman la forma

T_{1}RΩ_{2} = Ω_{2}T_{1}R^{−1}  (2.11)
T_{2}RΩ_{1} = ±Ω_{1}T_{2}R  (2.12)
RΩ_{1}R^{−1}Ω_{2} = ∓Ω_{2}RΩ_{1}R^{−1}  (2.13)

respectivamente, donde

Ω = T^{−1}dT,  trz(Ω) = 0,
Ω_{1} = Ω ⊗ I,  Ω_{2} = I ⊗ Ω.

Prueba. En efecto, puesto que T Ω = dT

T_{1}Ω_{1} = dT_{1} = (dT)_{1}, T_{2}Ω_{2} = dT_{2} = (dT)_{2}

con

Ω_{1} = Ω ⊗ I, Ω_{2} = I ⊗ Ω.

Entonces partiendo de (2.1) obtemos:

RT_{1}T_{2} = T_{2}T_{1}R
RT_{1}T_{2}Ω_{2} = T_{2}T_{1}RΩ_{2}
RT_{1}dT_{2} = T_{2}T_{1}RΩ_{2}
dT_{2}T_{1}R^{−1} = T_{2}T_{1}RΩ_{2}
T_{2}Ω_{2}T_{1}R^{−1} = T_{2}T_{1}RΩ_{2}
Ω_{2}T_{1}R^{−1} = T_{1}RΩ_{2}.

De la misma forma se obtiene (2.12) partiendo de (2.2). Para probar (2.13) tomamos la igualdad (2.4) y usando las igualdades anteriores, obtenemos:

RdT_{1}dT_{2} = ∓dT_{2}dT_{1}R^{−1}
RdT_{1}T_{2}Ω_{2} = ∓dT_{2}T_{1}Ω_{1}R^{−1}
R^{2}T_{2}dT_{1}R^{−1}Ω_{2} = ∓RT_{1}dT_{2}RΩ_{1}R^{−1}
RT_{2}T_{1}Ω_{1}R^{−1}Ω_{2} = ∓T_{1}T_{2}Ω_{2}RΩ_{1}R^{−1}
T_{1}T_{2}RΩ_{1}R^{−1}Ω_{2} = ∓T_{1}T_{2}Ω_{2}T_{1}Ω_{1}R
RΩ_{1}R^{−1}Ω_{2} = ∓Ω_{2}RΩ_{1}R^{−1}
RΩ_{1}R^{−1}Ω_{2} = ∓Ω_{2}RΩ_{1}R^{−1}.

Proposición 2.3. El álgebra M_{h} generada por los elementos T (con det(T) = 1) y Ω (con trz(Ω) = 0) que satisfacen las relaciones (2.1), (2.11), (2.12) y (2.13) es un álgebra de Hopf graduada diferencial con el co-producto Δ, la co-unidad ε y la aplicación antípoda siguientes:

Δ(T) = T ⊗ T,  Δ(Ω) = Ω ⊗ I + (T ⊗ Ω)(S(T) ⊗ I),
ε(T) = I,  ε(Ω) = 0,
S(T) = T^{−1},  S(Ω) = −S(T)ΩT.

(2.14)

Prueba. Puesto que las 1-formas de Maurer-Cartan invariantes a izquierda ω_{j}^{i} se pueden expresar en terminos de los generadores a = t_{11}, b = t_{12}, c = t_{22} y sus diferenciales por

w_{0} = c da,  w_{1} = c db − b dc,  w_{2} = a dc,

o también por

da = aw_{0},  db = aw_{1} + bw_{2},  dc = cw_{2},

entonces los elementos de las igualdades (2.11) a (2.13) pueden expresarse como suma de productos t_{j}^{i}dt_{l}^{k}, y con ellos el co-producto Δ, la co-unidad ε y la aplicación antípoda en (2.14) satisfacen (2.8) a (2.10) y por lo tanto, la validez de esta proposición se obtiene de la validez de las proposiciones (2.1) y (2.2).

Dada el álgebra de Hopf graduada M_{h} generada por los elementos de las matrices T y dT módulo las relaciones (2.11) a (2.13), queremos definir un corchete de Lie sobre M_{h} de tal forma que con ese corchete M_{h} tenga estructura de Lie-Poisson. Esto es, (ver [24]) definir un corchete:

{ } : M_{h} ⊗ M_{h} → M_{h}

que satisfaga las siguientes propiedades:

(1) Simetría graduada:

{a, b} = (−1)^{|a||b|+1}{b, a}  (2.15)

(2) Regla de Leibniz graduada:

{ab, c} = a{b, c} + (−1)^{|b||c|}{a, b}b  (2.16)

(3) Identidad de Jacobi graduada:

(−1)^{|a||c|}{{a, b}, c} + (−1)^{|b||c|}{{c, a}, b} + (−1)^{|a||b|}{{b, c}, a} = 0 (2.17)

y que sea compatible con el producto en M_{h}, es decir que satisfaga

Δ({a, b}) = {Δ(a), Δ(b)}_{M_{h}⊗M_{h}}

donde {, }_{M_{h}⊗M_{h}} es el corchete inducido por el corchete de Lie de M_{h} sobre M_{h} ⊗ M_{h} y definido por

{a ⊗ b, c ⊗ d} = (−1)^{|b||c|}{a, c} ⊗ bd + (−1)^{|b||c|}ac ⊗ {b, d}

donde a, b, c, d son elementos de M_{h}. Nota 1. En la definición del corchete sobre M_{h} debemos tener presente que en el límite clásico (h → 0), el corchete de Poisson { , } de M_{h} debe coincidir con el corchete definido sobre el álgebra graduada generada por los elementos conmutativos de T y sus diferenciales dT dado por:

{T ⊗ T } = [r, T ⊗ T],
{T_{1}, dT_{2}} + {dT_{1}, T_{2}} = [r, d(T_{1}T_{2})] = d[r, T_{1}T_{2}]

donde T ⊗ T = (T ⊗ I)(I ⊗ T) = T_{1}T_{2} y {T ⊗ T } es el corchete de Sklyanin (61) (ver [7]), generado por la r-matriz (55) y d es el operador diferencial graduado definido por:

d(T) = T Ω, d(Ω) = Ω ∧ Ω.

Definición 2.3. Una estructura de Poisson graduada se dice que es diferencial si el operador d satisface la regla de Leibniz para el corchete:

d{a, b} = {da, b} + (−1)^{|a|}{a, db}.

Nota 2. Si la estructura Lie-Poisson graduada definida sobre M_{h} es diferencial, el álgebra no conmutativa de formas diferenciales M_{h} admite una derivada exterior, (ver [29]).

Sabemos que el álgebra de funciones C^{∞}(ST (2)) tiene estructura de Poisson, (ver [10]), con el corchete {T ⊗ T } = [r, T ⊗ T] definido por la r-matriz (1.5). Este corchete induce el corchete de Lie sobre el álgebra graduada M_{h} como sigue:

\begin{aligned}\{T_{1}, T_{2}\} & = [r, T_{1}T_{2}] = r(T_{1}T_{2}) − (T_{1}T_{2})r \\ \{T_{1}, dT_{2}\} & = [r, T_{1}dT_{2}] = r(T_{1}dT_{2}) − (T_{1}dT_{2})r \\ \{dT_{1}, T_{2}\} & = [r, dT_{1}T_{2}] = r(dT_{1}T_{2}) − (dT_{1}T_{2})r \\ \{T_{1}, dT_{2}\} + \{dT_{1}, T_{2}\} & = [r, d(T_{1}T_{2})] = d[r, T_{1}T_{2}] \end{aligned}  (2.18)

donde T_{1}, T_{2}, dT_{1} y dT_{2} son las matrices definidas en la proposición (2.1).

Proposición 2.4. El cálculo diferencial de primer orden (M_{h}, d, Δ, ε, S) tiene estructura de Hopf-Poisson graduada diferencial con el corchete (2.18).

Prueba. Debemos ver que el corchete (2.18) es un corchete de Poisson y que el álgebra de Poisson (M_{h}, {, }) es una estructura diferencial, es decir, el espacio (M_{h}, {, }) satisface la definición (2.3).

Dadas las matrices T en (1.2), r en (1.5) y los corchetes

\{T_{1}, dT_{2}\} = ( \begin{matrix}\{a, da\} & \{a, db\} & \{b, da\} & \{b, db\} \\ 0 & \{a, dc\} & 0 & \{b, dc\} \\ 0 & 0 & \{c, da\} & \{c, db\} \\ 0 & 0 & 0 & \{c, dc\} \end{matrix} ) ,

\{dT_{1}, T_{2}\} = ( \begin{matrix}\{da, a\} & \{da, b\} & \{db, a\} & \{db, b\} \\ 0 & \{da, c\} & \{0, 0\} & \{db, c\} \\ 0 & 0 & \{dc, a\} & \{dc, b\} \\ 0 & 0 & 0 & \{dc, c\} \end{matrix} )

y los productos

T_{1}dT_{2} = ( \begin{matrix}a da & a db & b da & b db \\ 0 & adc & 0 & bdc \\ 0 & 0 & c da & c db \\ 0 & 0 & 0 & cdc \end{matrix} ) , dT_{1}T_{2} = ( \begin{matrix}da a & da b & db a & db b \\ 0 & da c & 0 & db c \\ 0 & 0 & dc a & dc b \\ 0 & 0 & 0 & dc c \end{matrix} )

se tiene que los corchetes (2.18) se pueden expresar por las igualdades siguientes, definidas sobre los generadores del álgebra graduada M_{h}:

\begin{aligned}\{a, a\} & = \{b, b\} = \{c, c\} = 0, \\ \{a, b\} & = −\{b, a\} = a^{2} − ac, \\ \{a, c\} & = \{c, a\} = 0, \\ \{b, c\} & = −\{c, b\} = ac − c^{2}, \\ \{a, da\} & = 0, & \{a, dc\} & = 0, \\ \{c, da\} & = 0, & \{c, dc\} & = 0, \\ \{a, db\} & = a(dc − da), & \{b, da\} & = (a − c) da, \\ \{b, db\} & = b dc − c db + b da − a db, \\ \{b, dc\} & = (c − a)dc, & \{c, db\} & = −c(dc − da), \\ \{da, a\} & = 0, & \{da, c\} & = 0, \\ \{dc, a\} & = 0, & \{dc, c\} & = 0, \\ \{da, b\} & = da(c − a), & \{db, a\} & = (da − dc)a, \\ \{db, b\} & = db c − dc b + db a − da b, \\ \{db, c\} & = (dc − da)c, & \{dc, b\} & = −dc(c − a) \end{aligned}  (2.19)

donde los generadores del álgebra {a, b, c, da, db, dc} satisfacen las relaciones (2.11) a (2.13) de la proposición (2.1).

El corchete (2.19) satisface las propiedades del corchete de Lie graduado (2.15) a (2.17). En efecto, la antisimetría graduada (2.15) se satisface directamente. Veamos el caso

{a, db} = a(dc − da) = (−1)^{|a||b|+1}{db, a} = (da − dc)a;

los otros casos se verifican de la misma forma. La regla de Leibniz (2.16) se obtiene también en forma directa hallando las diferenciales de los corchetes y comparando en las igualdades (2.19).

Como ejemplo veamos un caso.

{da, b} + {a, db} = da(c − a) + a(dc − da)
d{a, b} = −d(a^{2} − ac) = −d(a^{2}) − d(ac)
= −da · a − (−1)^{|a|}a · da + da · c + (−1)^{|a|}a · dc
= da · (c − a) + a · (dc − da)

luego,

d{a, b} = {da, b} + (−1)^{|a|}{a, db}

y esta propiedad se satisface para todo elemento del álgebra graduada M_{h}. Entonces el corchete definido en (2.19) es un corchete de Lie graduado sobre el álgebra de Hopf M_{h}.

Para probar que el corchete (2.19) es de Poisson basta verificar que el coproducto

Δ : M_{h} → M_{h} ⊗ M_{h}
Δ = Δ_{L} + Δ_{R}

es una aplicación de Poisson. Sabemos que Δ es una aplicación de Poisson sobre los elementos de T, (ver [10]). Por lo tanto, Δ_{L} y Δ_{R} son aplicaciones de Poisson sobre el álgebra graduada generada por T y dT. Luego Δ = Δ_{L} +Δ_{R} es una aplicación de Poisson sobre el álgebra graduada M_{h}; es decir, el corchete

{ , } : M_{h} ⊗ M_{h} → M_{h}

definido en (2.18) es compatible con el producto en M_{h}.

Con esta afirmación queda demostrado que el álgebra (M_{h}, d, Δ, ε, S, {, }) es un álgebra de Hopf-Poisson graduada. Es decir, el cálculo diferencial de primer orden del grupo cuántico ST_{R}(2) es un álgebra de Hopf-Poisson graduada con el corchete (2.18) y tiene estructura de Poisson diferencial.

Por la proposición (2.4) y la nota [2] existe una única diferencial

d : M_{h}^{k} → M_{h}^{k+1}

tal que

d^{2} = 0, d(w_{j}^{i}) = dw_{j}^{i}, d(t_{j}^{i}) = dt_{j}^{i}, d(w · η) = dw · η + (−1)^{|w|}w · dη

para w, η elementos homogéneos y |w| el grado de w.

Completamos así la construcción de un cálculo diferencial sobre el grupo cuántico ST_{R}(2) con una estructura Lie-Poisson diferencial y una derivada exterior.

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(Recibido en mayo de 1997; revisado por el autor en noviembre de 1998)

Departamento de Matemáticas y Estadística

Universidad Nacional de Colombia Bogotá, Colombia